Skorr

Proyeksi ortogonal vektor

Vektor & Matriks Matematika · SMA hard

Diketahui titik A(2,7,8)A(2,7,8), B(−1,1,−1)B(-1,1,-1) dan C(0,3,2)C(0,3,2). Jika AB→\overrightarrow{AB} wakil u⃗\vec u dan BC→\overrightarrow{BC} wakil v⃗\vec v maka proyeksi ortogonal vektor u⃗\vec u pada v⃗\vec v adalah ....

  1. A
    −3i⃗−6j⃗−9k⃗-3\vec i - 6\vec j - 9\vec k
    ✓
  2. B
    i⃗+2j⃗+3k⃗\vec i + 2\vec j + 3\vec k
  3. C
    13i⃗+23j⃗+k⃗\tfrac13\vec i + \tfrac23\vec j + \vec k
  4. D
    −9i⃗−18j⃗−27k⃗-9\vec i - 18\vec j - 27\vec k
  5. E
    3i⃗+6j⃗+9k⃗3\vec i + 6\vec j + 9\vec k

Kunci jawaban

A

Penjelasan singkat

u⃗=(−3,−6,−9)\vec u=(-3,-6,-9), v⃗=(1,2,3)\vec v=(1,2,3). Proyeksi =u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2v⃗=−4214(1,2,3)=(−3,−6,−9)=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec v|^2}\vec v=\dfrac{-42}{14}(1,2,3)=(-3,-6,-9).

(Jawaban dihitung & diverifikasi dengan Python/SymPy.)

u⃗=AB→=B−A=(−3,−6,−9)\vec u=\overrightarrow{AB}=B-A=(-3,-6,-9), v⃗=BC→=C−B=(1,2,3)\vec v=\overrightarrow{BC}=C-B=(1,2,3).

u⃗⋅v⃗=−3−12−27=−42\vec u\cdot\vec v=-3-12-27=-42, ∣v⃗∣2=1+4+9=14|\vec v|^2=1+4+9=14.

Proyeksi =−4214v⃗=−3(1,2,3)=(−3,−6,−9)=−3i⃗−6j⃗−9k⃗=\dfrac{-42}{14}\vec v=-3(1,2,3)=(-3,-6,-9)=-3\vec i-6\vec j-9\vec k → A.

⚡ Latihan Matematika SMA