Volume tabung maksimum

Kalkulus Matematika · SMA hard

Sebuah bak air tanpa tutup berbentuk tabung. Jumlah luas selimut dan alas bak air adalah $28\pi\ m^2$ . Volume akan maksimum, jika jari-jari alas sama dengan ....

A
$\tfrac13\sqrt7\ m$
B
$\tfrac23\sqrt7\ m$
C
$\tfrac43\sqrt7\ m$
D
$\tfrac23\sqrt{21}\ m$
✓
E
$\tfrac43\sqrt{21}\ m$

Kunci jawaban

Penjelasan singkat

$2\pi rh+\pi r^2=28\pi \Rightarrow 2rh+r^2=28$ . $V=\tfrac{\pi}{2}(28r-r^3)$ , $V'=0 \Rightarrow r^2=\tfrac{28}{3} \Rightarrow r=\tfrac23\sqrt{21}$ .

(Jawaban dihitung & diverifikasi dengan Python/SymPy.)

Tabung tanpa tutup: luas selimut + alas $=2\pi rh+\pi r^2=28\pi \Rightarrow 2rh+r^2=28 \Rightarrow h=\dfrac{28-r^2}{2r}$ .

$V=\pi r^2 h=\pi r^2\cdot\dfrac{28-r^2}{2r}=\dfrac{\pi}{2}(28r-r^3)$ .

$V'=\dfrac{\pi}{2}(28-3r^2)=0 \Rightarrow r^2=\dfrac{28}{3} \Rightarrow r=\sqrt{\tfrac{28}{3}}=\tfrac{2\sqrt7}{\sqrt3}=\tfrac23\sqrt{21}$ m → D. (Diverifikasi.)

Catatan: pada naskah asli satuan luas tertulis '28 m²'; agar hasil bebas $\pi$ dan cocok dengan opsi, luasnya diperlakukan sebagai $28\pi\ m^2$ (nilai $\pi$ tereliminasi).

⚡ Latihan Matematika SMA