Skorr

Persamaan kuadrat baru dari akar-akar

Aljabar Matematika · SMA hard

Akar-akar persamaan 2x2+3x−2=02x^2 + 3x - 2 = 0 adalah α\alpha dan β\beta. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya αβ\dfrac{\alpha}{\beta} dan βα\dfrac{\beta}{\alpha} adalah ....

  1. A
    4x2+17x+4=04x^2 + 17x + 4 = 0
    ✓
  2. B
    4x2−17x+4=04x^2 - 17x + 4 = 0
  3. C
    4x2+17x−4=04x^2 + 17x - 4 = 0
  4. D
    9x2+22x−9=09x^2 + 22x - 9 = 0
  5. E
    9x2−22x−9=09x^2 - 22x - 9 = 0

Kunci jawaban

A

Penjelasan singkat

α+β=−32, αβ=−1\alpha+\beta=-\tfrac32,\ \alpha\beta=-1. Jumlah akar baru =α2+β2αβ=−174=\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=-\tfrac{17}{4}, hasil kali =1=1. PK: x2+174x+1=0⇒4x2+17x+4=0x^2+\tfrac{17}{4}x+1=0 \Rightarrow 4x^2+17x+4=0.

(Jawaban dihitung & diverifikasi dengan Python/SymPy.)

Dari 2x2+3x−2=02x^2+3x-2=0: α+β=−32\alpha+\beta=-\tfrac32, αβ=−1\alpha\beta=-1.

Jumlah akar baru: αβ+βα=α2+β2αβ=(α+β)2−2αβαβ=94+2−1=−174\dfrac{\alpha}{\beta}+\dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\dfrac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=\dfrac{\tfrac94+2}{-1}=-\dfrac{17}{4}.

Hasil kali akar baru: αβ⋅βα=1\dfrac{\alpha}{\beta}\cdot\dfrac{\beta}{\alpha}=1.

PK baru: x2−(−174)x+1=0⇒x2+174x+1=0x^2-\left(-\tfrac{17}{4}\right)x+1=0 \Rightarrow x^2+\tfrac{17}{4}x+1=0, kalikan 4: 4x2+17x+4=04x^2+17x+4=0 → A.

⚡ Latihan Matematika SMA