Komposisi transformasi matriks (catatan cacat naskah)

Vektor & Matriks Matematika · SMA hard

Transformasi $\begin{pmatrix} a & a+1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ yang dilanjutkan dengan transformasi $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$ terhadap titik $A(2,3)$ dan $B(4,1)$ menghasilkan bayangan $A'(22,-1)$ dan $B'(24,-17)$ . Oleh komposisi transformasi yang sama, bayangan titik C adalah $C'(70,35)$ . Koordinat titik C adalah ....

A
$(2, 1)$
✓
B
$(2, -1)$
C
$(-2, 1)$
D
$(1, -2)$
E
$(1, 2)$

Kunci jawaban

Penjelasan singkat

Dari A' & B' didapat $a=2$ , matriks gabungan $T=\begin{pmatrix}5&4\\-5&3\end{pmatrix}$ . Catatan: $T^{-1}(70,35)=(2,15)$ — tidak ada di opsi (kemungkinan salah cetak pada $C'$ ).

(Jawaban draft awal — dapat disempurnakan lewat fitur suggest-answer / tinjauan.)

Matriks gabungan (transformasi ke-2 setelah ke-1) $T=\begin{pmatrix}2&1\\-1&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&a+1\\1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a+1&2a\\-a-3&-a+5\end{pmatrix}$ .

$T\binom{2}{3}=(10a+2,\,-5a+9)=(22,-1)\Rightarrow a=2$ (konsisten dengan $B'$ ). Maka $T=\begin{pmatrix}5&4\\-5&3\end{pmatrix}$ , $\det T=35$ .

$C=T^{-1}\binom{70}{35}=\dfrac{1}{35}\begin{pmatrix}3&-4\\5&5\end{pmatrix}\binom{70}{35}=(2,\,15)$ .

Catatan tinjauan (soft — cacat naskah): hasil $(2,15)$ tidak terdapat di antara pilihan; kemungkinan besar nilai $C'$ pada naskah salah cetak. Bila $C'=(14,-7)$ maka $C=(2,1)$ (opsi A), sehingga A dipilih sebagai jawaban dengan koordinat- $x$ yang bersesuaian. Mohon verifikasi ke naskah resmi.

⚡ Latihan Matematika SMA