Volume benda putar mengelilingi sumbu X

Kalkulus Matematika · SMA hard

Perhatikan gambar berikut! Jika daerah yang diarsir (dibatasi $y=x^2$ dan $y=-4x$ ) pada gambar diputar mengelilingi sumbu X sejauh $360^\circ$ maka volume benda putar yang terjadi adalah ....

A
$\tfrac{123}{15}\pi$ satuan volume
B
$\tfrac{83}{15}\pi$ satuan volume
C
$\tfrac{77}{15}\pi$ satuan volume
✓
D
$\tfrac{43}{15}\pi$ satuan volume
E
$\tfrac{35}{15}\pi$ satuan volume

Kunci jawaban

Penjelasan singkat

$V=\pi\displaystyle\int_{-1}^{0}\bigl((-4x)^2-(x^2)^2\bigr)dx=\pi\int_{-1}^{0}(16x^2-x^4)dx=\tfrac{77}{15}\pi$ .

(Jawaban dihitung & diverifikasi dengan Python/SymPy.)

Kurva $y=x^2$ dan $y=-4x$ berpotongan di $x=0$ dan $x=-4$ ; daerah arsir berada pada $-1\le x\le0$ dengan batas atas $y=-4x$ dan batas bawah $y=x^2$ .

Metode cincin (diputar terhadap sumbu X):

$V=\pi\int_{-1}^{0}\bigl((-4x)^2-(x^2)^2\bigr)dx=\pi\int_{-1}^{0}(16x^2-x^4)\,dx=\pi\Bigl[\tfrac{16x^3}{3}-\tfrac{x^5}{5}\Bigr]_{-1}^{0}=\pi\Bigl(\tfrac{16}{3}-\tfrac15\Bigr)=\tfrac{77}{15}\pi$

→ C.

⚡ Latihan Matematika SMA